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论文总结：被动 RFID 系统中的雷达截面积分析
标题： Radar cross-section analysis for passive RFID systems
作者： K. Penttilä, M. Keskilammi, L. Sydänheimo, and M. Kivikoski
期刊： IEE Proceedings - Microwaves, Antennas, and Propagation, 2006
主要内容概述： 论文分析了被动 RFID 系统中天线的雷达截面积（RCS），通过理论推导和实验验证，研究了不同负载条件（短路、开路、电阻负载、IC 负载）下的天线 RCS，讨论了其对系统性能（如识别距离和可靠性）的影响。
天线阻抗与终端阻抗的定义
- 天线阻抗定义为： $Z_A = R_A + jX_A = R_r + R_L + jX_A$ 其中：
- $R_A$：天线总电阻，包括辐射电阻 $R_r$ 和损耗电阻 $R_L$；
- $X_A$：天线的感性或容性电抗。
- 终端阻抗定义为： $Z_T = R_T + jX_T$ 其中：
- $R_T$：终端的电阻；
- $X_T$：终端的电抗。
等效电路中的电流表达式
等效电路如图 4 所示，包含天线阻抗 $Z_A$ 和终端阻抗 $Z_T$。根据欧姆定律，电流 $I$ 可表示为： $I = \frac{V}{Z_A + Z_T}$ 其中 $V$ 是天线接收到的输入电压。
推导步骤
将天线阻抗 和 终端阻抗 代入： $Z_A + Z_T = (R_r + R_L + jX_A) + (R_T + jX_T)$ 化简后得： $Z_A + Z_T = (R_r + R_L + R_T) + j(X_A + X_T)$
取模以获得阻抗的幅值： $|Z_A + Z_T| = \sqrt{(R_r + R_L + R_T)^2 + (X_A + X_T)^2}$
求电流表达式： 将阻抗幅值代入电流表达式 得： $I = \frac{V}{|Z_A + Z_T|} = \frac{V}{\sqrt{(R_r + R_L + R_T)^2 + (X_A + X_T)^2}}$ 这也就是原文中公式4的得来
公式 4 到公式 9 的推导过程是从电流公式（公式 4）开始，逐步计算天线终端吸收的功率，并引入天线的有效面积，最后在理想条件下简化得到天线的最大有效面积公式。
公式 4 的基础：电流表达式
公式 4 给出了电流 $I$ 的表达式： $I = \frac{V}{\sqrt{(R_r + R_L + R_T)^2 + (X_A + X_T)^2}}$ 这来自等效电路模型的基本计算。
公式 5 到公式 6：吸收功率
天线终端吸收的功率 $P_{A \to T}$ 与电流和终端电阻有关： $P_{A \to T} = I^2 R_T$ 将公式 4 中的电流 $I$ 代入： $P_{A \to T} = \left( \frac{V}{\sqrt{(R_r + R_L + R_T)^2 + (X_A + X_T)^2}} \right)^2 R_T$ 化简后得到： $P_{A \to T} = \frac{V^2 R_T}{(R_r + R_L + R_T)^2 + (X_A + X_T)^2}$ 这就是公式 6。
公式 7 到公式 8：有效面积的引入
有效面积 $A_{\text{eff}}$ 与吸收功率和场强的功率密度 $S$ 关系为： $P_{\text{absorbed}} = S A_{\text{eff}}$ 因此： $A_{\text{eff}} = \frac{P_{\text{absorbed}}}{S}$ 在理想情况下，吸收功率就是天线终端吸收的功率 $P_{A \to T}$。将公式 6 代入： $A_{\text{eff}} = \frac{\frac{V^2 R_T}{(R_r + R_L + R_T)^2 + (X_A + X_T)^2}}{S}$ 化简得到： $A_{\text{eff}} = \frac{V^2 R_T}{S [(R_r + R_L + R_T)^2 + (X_A + X_T)^2]}$ 这就是公式 8。
公式 9：理想条件下的有效面积
在理想情况下：
- 匹配终端：终端阻抗与天线阻抗共轭匹配， $X_T = -X_A$ ， $R_T = R_r + R_L$ ；
- 简化公式 8： $A_{\text{eff}} = \frac{V^2}{4S(R_r + R_L)}$ 这是匹配条件下的有效面积。
从公式 8 到公式 9 的关键点
- 匹配负载时，终端阻抗和天线阻抗共轭匹配消除了电抗项。
- $R_T = R_r + R_L$ 最大化功率传输，因此有效面积简化为公式 9。
公式 10：最大有效面积
公式 10 给出在理想条件下（无损耗天线， $R_L = 0$）的最大有效面积： $A_{\text{eff}} = \frac{V^2}{4S R_r}$ 这是公式 9 的特例，当损耗电阻为零时成立。
公式 11 到 12：天线模式散射的功率传输
公式 11 定义了从终端到天线的功率传输：
$P_{T \to A} = I^2 R_r$
这里 $I$ 是天线等效电路中的电流， $R_r$ 是辐射电阻。
将公式 4 中的电流代入公式 11：
$P_{T \to A} = \frac{V^2 R_r}{(R_r + R_L + R_T)^2 + (X_A + X_T)^2}$
这就是公式 12。
公式 13：理想匹配条件下的天线模式散射
在无损耗天线且终端阻抗与天线阻抗匹配的情况下（即 $R_T = R_r + R_L$， $X_T = -X_A$），公式 12 简化为：
$P_{T \to A} = \frac{V^2}{4R_r}$
结合天线的有效面积公式（公式 7），可以得出匹配条件下天线模式散射的有效面积：
$A_{\text{eff}} = \frac{V^2}{4S R_r}$
这与公式 10 一致。
公式 14：短路条件下的天线有效面积
当天线短路时：
终端阻抗为零（ $R_T = 0, X_T = -X_A$ ），代入公式 8：
$A_{\text{eff}} = \frac{V^2}{S R_r}$
这是短路条件下的天线有效面积，表示天线的接收和散射能力在此条件下达到最大。
公式 15：开路条件下的天线有效面积
当天线开路时：
- 终端阻抗趋于无穷大（ $Z_T = \infty$），因此电流 $I = 0$。
从公式 7 可知，吸收功率为零，天线有效面积为：
$A_{\text{eff}} = 0$
这是因为开路条件下天线无法有效接收或散射入射电磁波。
公式 16 到公式 30 的推导过程主要涉及雷达截面积 (RCS) 的具体分解和在功率传输中的应用，特别是结合 RFID 系统的前向链路和后向链路。以下是详细的推导与解释：
公式 16：RCS 定义
基础公式是： $\sigma = \lim_{R \to \infty} \frac{4\pi R^2 |E_{\text{scat}}|^2}{|E_{\text{inc}}|^2}$
将电场与功率密度的关系（ $E = \sqrt{2Z_0 S}$）代入后，可以写成：
$\sigma = \lim_{R \to \infty} 4\pi R^2 \left( \frac{\sqrt{S_{\text{scat}}}}{\sqrt{S_{\text{inc}}}} \right)^2$
这是描述 RCS 的基本公式。
公式 17：电场和功率密度的关系
功率密度与电场强度的关系为：
$E = \sqrt{2Z_0 S}$
这将功率密度 $S$ 转换为电场 $E$ 的表示形式。
代入公式 16，RCS 转换为功率密度的表达：
$\sigma = 4\pi R^2 \left( \frac{\sqrt{S_{\text{scat}}}}{\sqrt{S_{\text{inc}}}} \right)^2$
公式 18 和 19：分解为天线模式和结构模式
总散射场可以分为两部分：
- 结构模式（Structural Mode）：与天线的物理形状和材料相关。
- 天线模式（Antenna Mode）：由天线的设计和负载引起。
总散射场可以表示为： $\sigma = \frac{1}{\pi} \left| 2\pi R \sqrt{\frac{S_{\text{struct}}}{S_{\text{inc}}}} - (1 - \Gamma_a) \pi R \sqrt{\frac{S_{\text{ant}}}{S_{\text{inc}}}} \right|^2$
其中：
- $S_{\text{struct}}$：结构模式引起的散射功率密度；
- $S_{\text{ant}}$：天线模式引起的散射功率密度；
- $\Gamma_a$：反射系数，取决于天线负载。
Knott 的定义指出：
$\sigma = \lim_{R \to \infty} \frac{4\pi R^2 S_{\text{scat}}}{S_{\text{inc}}}$
公式 20 到 22：通过功率密度重新定义 RCS
总散射功率密度 $S_{\text{scat}}$ 分解为结构模式和天线模式两部分：
$S_{\text{scat}} = S_{\text{struct}} + S_{\text{ant}}$
结合散射截面积的定义，天线模式的 RCS 可写为：
$\sigma_{\text{ant}} = (1 - \Gamma_a) \sqrt{\pi} R \sqrt{\frac{S_{\text{ant}}}{S_{\text{inc}}}}$
这给出了天线模式散射的具体贡献。
公式 23 到 30：功率密度与 RFID 系统中的功率关系
在 RFID 系统中，RCS 的计算涉及到前向链路（reader → tag）和后向链路（tag → reader）的功率传输。
- 公式 23：前向链路功率密度
功率密度 $S_1$（reader → tag）为：
$S_1 = \frac{G P_1}{4\pi R^2}$
其中：
- $G$：发射天线增益；
- $P_1$：发射功率；
- $R$：reader 到 tag 的距离。
- 公式 24 和 25：接收功率与有效面积
tag 吸收的功率为：
$P_{\text{received}} = S_1 A_{\text{eff}}$
有效面积：
$A_{\text{eff}} = \frac{\lambda^2 G_{\text{tag}}}{4\pi}$
- 公式 26 到 28：后向链路功率密度和散射功率
tag 向 reader 反射的功率密度为 $S_2$：
$S_2 = \frac{G_{\text{tag}} P_2}{4\pi R^2}$
散射功率为：
$P_3 = S_2 A_{\text{eff,reader}}$
其中 $A_{\text{eff,reader}} = \frac{\lambda^2 G}{4\pi}$。
- 公式 29 和 30：总功率密度的关系式
结合前向链路和后向链路的功率密度，得到：
$S_1 = \frac{G}{4\pi R^2} P_1$
$S_2 = \frac{4\pi}{\lambda^2 G} P_3$
标签位置处的功率密度S1是目标（标签）处的入射功率密度，等于 $S_{inc}$，反向散射功率密度S2是读取器接收的总散射功率 $S_{scat}$。
公式 31 到 33 主要分析了短路条件下（short circuit case）的雷达截面积 (RCS)，通过分解和简化得出总散射截面积仅由结构模式贡献，天线模式散射为零。
公式 31：短路条件下的天线模式 RCS
短路条件下，反射系数为 $\Gamma_a = 1$。此时没有天线模式散射，因为天线完全反射了所有的能量，且没有负载对信号进行调制：
$\sigma_{\text{ant,sc}} = 0$
公式 32：短路条件下的结构模式 RCS
在短路条件下，结构模式贡献了所有的散射能量。根据公式 18 的分解，结构模式 RCS 表达为：
$\sigma_{\text{struct,sc}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}$
其中：
- $P_1$：reader 的发射功率；
- $P_{3,\text{sc}}$：短路情况下 reader 接收到的回波功率；
- $\lambda$：波长；
- $G$：发射天线的增益。
这个公式表明，在短路情况下，结构模式 RCS 是通过接收到的功率 $P_{3,\text{sc}}$ 来计算的。
公式 33：短路条件下的总 RCS
总散射 RCS 是结构模式和天线模式的叠加。在短路条件下，天线模式散射为零，因此总 RCS 等于结构模式 RCS：
$\sigma_{\text{scat,sc}} = \sigma_{\text{struct,sc}}$
即：
$\sigma_{\text{scat,sc}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}$
总结
- 短路条件下，天线不会吸收或调制任何信号，所有的散射都来自结构模式。
- 总 RCS 直接等于结构模式 RCS，由接收功率 $P_{3,\text{sc}}$ 和发射功率 $P_1$ 之间的比值计算得出。
- 这是散射的最大情况，因为天线没有对能量进行任何吸收或匹配。
公式 34 和公式 35 是总 RCS（公式 36）的两个组成部分。公式 36 的推导通过将 结构模式 RCS 和 天线模式 RCS 的贡献叠加在一起实现。以下是详细的推导过程：
公式 34：结构模式 RCS
开路条件下，结构模式的 RCS 表示为：
$\sigma_{\text{struct,oc}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}$
这一部分来源于短路情况下的散射功率密度 $P_{3,\text{sc}}$，结构模式不受天线负载变化的影响。
公式 35：天线模式 RCS
天线模式 RCS 表示为： $\sigma_{\text{ant,oc}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \left| \sqrt{\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}} - \sqrt{\frac{P_{3,\text{oc}}}{P_1}} \right|^2$
其中：
- $P_{3,\text{oc}}$：开路情况下接收到的散射功率。
- $P_{3,\text{sc}}$：短路情况下接收到的散射功率。
这一公式通过比较短路和开路条件下的散射功率差异，计算了由于负载反射变化引起的天线模式散射。
公式 36：总 RCS 表达
总 RCS 是结构模式和天线模式 RCS 的叠加：
$\sigma_{\text{scat,oc}} = \sigma_{\text{struct,oc}} + \sigma_{\text{ant,oc}}$
推导公式 36
将公式 34 和公式 35 的表达式代入： $\sigma_{\text{scat,oc}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1} + \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \left| \sqrt{\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}} - \sqrt{\frac{P_{3,\text{oc}}}{P_1}} \right|^2$
提取公共因子： $\sigma_{\text{scat,oc}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \left( \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1} + \left| \sqrt{\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}} - \sqrt{\frac{P_{3,\text{oc}}}{P_1}} \right|^2 \right)$
注意： $\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}$ 是结构模式贡献。 $\left| \sqrt{\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}} - \sqrt{\frac{P_{3,\text{oc}}}{P_1}} \right|^2$ 是天线模式贡献。
可以进一步简化总 RCS 为：
$\sigma_{\text{scat,oc}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{oc}}}{P_1}$
公式 37 到 39 讨论了 电阻负载条件（resistor loaded case） 下的雷达截面积 (RCS)。在这种情况下，天线被连接到一个匹配的电阻负载（理想情况下反射系数 $\Gamma_a = 0$），既存在结构模式，也存在天线模式散射。
以下是推导过程和公式之间的关系：
公式 37：电阻负载情况下的结构模式 RCS
由于结构模式散射仅与天线的物理结构相关，而与负载无关，因此其表达式与短路和开路条件相同：
$\sigma_{\text{struct,R}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}$
这里：
- $P_{3,\text{sc}}$ 是短路情况下的接收功率；
- $P_1$ 是发射功率。
公式 38：电阻负载情况下的天线模式 RCS
天线模式散射由负载的反射特性引起。在电阻负载条件下，反射系数 $\Gamma_a = 0$，天线模式散射最大程度减少。
天线模式 RCS 表达式为： $\sigma_{\text{ant,R}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \left| \sqrt{\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}} - \sqrt{\frac{P_{3,\text{R}}}{P_1}} \right|^2$
其中：
- $P_{3,\text{R}}$ 是电阻负载条件下的接收功率；
- $P_{3,\text{sc}}$ 是短路条件下的接收功率。
这一公式与公式 35（开路条件下的天线模式 RCS）相似，但此处负载不同（反射系数为 0 而非 -1），因此功率差异会有所变化。
公式 39：电阻负载情况下的总 RCS
总 RCS 是结构模式和天线模式的叠加：
$\sigma_{\text{scat,R}} = \sigma_{\text{struct,R}} + \sigma_{\text{ant,R}}$
将公式 37 和 38 的表达式代入： $\sigma_{\text{scat,R}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1} + \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \left| \sqrt{\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}} - \sqrt{\frac{P_{3,\text{R}}}{P_1}} \right|^2$
提取公共因子，化简为：
$\sigma_{\text{scat,R}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{R}}}{P_1}$
关键点
- 结构模式 RCS 的一致性：
- 结构模式散射仅与天线形状和材料相关，不受负载影响，因此公式 37 和短路、开路条件下的结构模式公式一致。
- 天线模式 RCS 的变化：
- 在电阻负载条件下，反射系数 $\Gamma_a = 0$，导致天线模式散射大幅减少。
- 公式 38 表明，天线模式散射取决于短路和电阻负载条件下接收功率的差异。
- 总 RCS 的等价性：
- 总 RCS 可通过电阻负载情况下的接收功率 $P_{3,\text{R}}$ 直接计算（公式 39）。
公式 40 到 42 分析了 IC 负载条件（IC loaded case） 下的雷达截面积 (RCS)。在这种情况下，天线负载是一个集成电路（IC），其输入阻抗和工作状态动态变化（通常在 $\Gamma_a$ 之间变化）。以下是详细推导：
公式 40：IC 负载情况下的结构模式 RCS
结构模式散射与负载无关，因此结构模式 RCS 在 IC 负载条件下与短路、开路和电阻负载条件相同：
$\sigma_{\text{struct,IC}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}$
其中：
- $P_{3,\text{sc}}$：短路条件下的接收功率；
- $P_1$：发射功率。
结构模式散射完全由天线的物理形状和材料决定，与 IC 的状态无关。
公式 41：IC 负载情况下的天线模式 RCS
天线模式散射与天线的负载特性直接相关。在 IC 负载条件下，反射系数 $\Gamma_a$ 动态变化，通常在短路（ $\Gamma_a = 1$）和匹配负载（ $\Gamma_a = 0$）之间变化。天线模式 RCS 表达为： $\sigma_{\text{ant,IC}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \left| \sqrt{\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}} - \sqrt{\frac{P_{3,\text{IC}}}{P_1}} \right|^2$
其中：
- $P_{3,\text{IC}}$：IC 负载条件下的接收功率；
- $P_{3,\text{sc}}$：短路条件下的接收功率。
这一公式计算了短路和 IC 负载条件下散射功率的差异，反映了 IC 动态工作状态对天线模式散射的影响。
公式 42：IC 负载情况下的总 RCS
总 RCS 是结构模式和天线模式的叠加：
$\sigma_{\text{scat,IC}} = \sigma_{\text{struct,IC}} + \sigma_{\text{ant,IC}}$
将公式 40 和公式 41 代入： $\sigma_{\text{scat,IC}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1} + \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \left| \sqrt{\frac{P_{3,\text{sc}}}{P_1}} - \sqrt{\frac{P_{3,\text{IC}}}{P_1}} \right|^2$
提取公共因子化简为：
$\sigma_{\text{scat,IC}} = \frac{(4\pi)^3 R^4}{\lambda^2 G^2} \frac{P_{3,\text{IC}}}{P_1}$
关键点
- 结构模式 RCS 不受 IC 状态影响：
- IC 的动态特性不会改变结构模式散射，因此公式 40 与其他负载条件的结构模式公式一致。
- 天线模式 RCS 的动态变化：
- 天线模式 RCS（公式 41）反映了 IC 动态工作状态的影响。与短路和电阻负载条件相比，IC 负载的天线模式散射更复杂，因为其反射系数可能在 $\Gamma_a = 1$ 和 $\Gamma_a = 0$ 之间变化。
- 总 RCS 的等价表达：
- 总 RCS 可以直接通过测量 IC 负载条件下的接收功率 $P_{3,\text{IC}}$ 计算（公式 42）。
实验验证与结果:
论文通过测量短路、开路、电阻负载和 IC 负载条件下的天线散射场验证了理论结果。
实验条件：
测量系统包括发射天线和接收天线，天线之间距离为 2 米。
频率范围为 900 MHz。
主要结论:
结构模式 RCS 在所有负载条件下都占主导地位。
短路条件下的总 RCS 最大，IC 负载条件接近电阻负载。
增加天线地板面积对可靠识别距离影响不大，但可显著增加最大识别范围。
总结:
理论贡献： 提出了被动 RFID 系统中天线 RCS 的完整理论框架，细化了结构模式和天线模式的分解方法。
实验验证： 实验结果支持理论推导，为优化 RFID 标签的天线设计提供了依据。
应用意义： 提高了对标签天线散射特性的理解，有助于改进 RFID 系统的性能，尤其是最大识别范围和可靠性。