Rssi2

给定公式 $\sigma = |\Gamma|^2 \cdot \frac{\lambda^2}{4\pi} \cdot \tau$，我们可以推导出 RCS ($\sigma$) 和阻抗之间的关系。

首先，分析给定公式中的各个参数：

1. 反射系数 $\Gamma$：

反射系数 $\Gamma$ 是天线阻抗 $Z_a$ 和芯片阻抗 $Z_c$ 之间的匹配程度，定义为：

$\Gamma = \frac{Z_a - Z_c}{Z_a + Z_c}$

其中： $Z_a = R_a + jX_a$ 是天线的复阻抗。 $Z_c = R_c + jX_c$ 是芯片的复阻抗。

2. 阻抗匹配系数 $\tau$：

阻抗匹配系数 $\tau$ 表示天线和芯片之间的匹配效率，定义为： $\tau = \frac{4 R_a R_c}{|Z_a + Z_c|^2}$

其中： $R_a$ 和 $R_c$ 是天线和芯片的实部阻抗。 $Z_a + Z_c$ 是天线和芯片复阻抗的和，模长的平方出现在公式中，表示匹配的程度。

3. 雷达截面 $\sigma$：

雷达截面（RCS）是反射信号强度的量度，公式为： $\sigma = |\Gamma|^2 \cdot \frac{\lambda^2}{4\pi} \cdot \tau$

这个公式结合了反射系数、波长 $\lambda$、以及匹配系数 $\tau$ 对RCS的影响。

推导 $\sigma$ 和阻抗的关系

要推导出 $\sigma$ 和阻抗之间的关系，我们需要将 $\Gamma$ 和 $\tau$ 的表达式代入。

1. 反射系数 $\Gamma$ 的平方： $|\Gamma|^2 = \left|\frac{Z_a - Z_c}{Z_a + Z_c}\right|^2$

   这是天线和芯片之间的阻抗匹配程度的一个度量，决定了标签反射信号的强度。

2. 阻抗匹配系数 $\tau$： $\tau = \frac{4 R_a R_c}{|Z_a + Z_c|^2}$

   阻抗匹配系数反映了芯片和天线之间的功率传输效率。

3. 将 $\Gamma$ 和 $\tau$ 代入 $\sigma$： 将这两个公式代入原始的RCS公式中，我们可以得到RCS与阻抗之间的关系： $\sigma = \left|\frac{Z_a - Z_c}{Z_a + Z_c}\right|^2 \cdot \frac{\lambda^2}{4\pi} \cdot \frac{4 R_a R_c}{|Z_a + Z_c|^2}$

   这是RCS $\sigma$ 与天线阻抗 $Z_a$ 和芯片阻抗 $Z_c$ 的关系。

进一步简化：

为了更简洁地理解，我们可以对公式进行一些简化： $\sigma = \frac{\lambda^2}{4\pi} \cdot \frac{4 R_a R_c \cdot |Z_a - Z_c|^2}{|Z_a + Z_c|^4}$

如果将天线阻抗 $Z_a$ 和 芯片阻抗 $Z_c$ 都写成包含实部和虚部的形式，然后在此基础上推导出RCS ($\sigma$) 和阻抗之间的关系式。

1. 反射系数 $\Gamma$

$\Gamma = \frac{Z_a - Z_c}{Z_a + Z_c}$

将天线和芯片的复阻抗代入：

$\Gamma = \frac{(R_a + jX_a) - (R_c + jX_c)}{(R_a + jX_a) + (R_c + jX_c)}$

简化：

$\Gamma = \frac{(R_a - R_c) + j(X_a - X_c)}{(R_a + R_c) + j(X_a + X_c)}$

2. 反射系数的平方 $|\Gamma|^2$

反射系数的幅度平方 $|\Gamma|^2$ 计算为： $|\Gamma|^2 = \frac{[(R_a - R_c) + j(X_a - X_c)]^2}{[(R_a + R_c) + j(X_a + X_c)]^2}$

可以通过计算分子和分母的平方来进一步推导，得到： $|\Gamma|^2 = \frac{(R_a - R_c)^2 + (X_a - X_c)^2}{(R_a + R_c)^2 + (X_a + X_c)^2}$

3. 阻抗匹配系数 $\tau$

给定的阻抗匹配系数公式是： $\tau = \frac{4 R_a R_c}{|Z_a + Z_c|^2}$

其中，$Z_a + Z_c = (R_a + R_c) + j(X_a + X_c)$，所以： $|Z_a + Z_c|^2 = (R_a + R_c)^2 + (X_a + X_c)^2$

因此，阻抗匹配系数为：

$\tau = \frac{4 R_a R_c}{(R_a + R_c)^2 + (X_a + X_c)^2}$

4. 雷达截面 $\sigma$

给定的RCS公式是： $\sigma = |\Gamma|^2 \cdot \frac{\lambda^2}{4\pi} \cdot \tau$

将反射系数 $|\Gamma|^2$ 和阻抗匹配系数 $\tau$ 的表达式代入： $\sigma = \left(\frac{(R_a - R_c)^2 + (X_a - X_c)^2}{(R_a + R_c)^2 + (X_a + X_c)^2}\right) \cdot \frac{\lambda^2}{4\pi} \cdot \frac{4 R_a R_c}{(R_a + R_c)^2 + (X_a + X_c)^2}$

5. 最终简化的公式

将两部分合并并简化，我们得到：

$\sigma = \frac{\lambda^2}{4\pi} \cdot \frac{4 R_a R_c \cdot \left[(R_a - R_c)^2 + (X_a - X_c)^2\right]}{\left[(R_a + R_c)^2 + (X_a + X_c)^2\right]^2}$

总结

RCS $\sigma$ 与天线阻抗 $Z_a = R_a + jX_a$ 和芯片阻抗 $Z_c = R_c + jX_c$ 之间的关系为：

$\sigma = \frac{\lambda^2}{4\pi} \cdot \frac{4 R_a R_c \cdot \left[(R_a - R_c)^2 + (X_a - X_c)^2\right]}{\left[(R_a + R_c)^2 + (X_a + X_c)^2\right]^2}$

• $\sigma$：标签的雷达截面（RCS），表示标签反射信号的强度。
• $R_a$ 和 $R_c$：分别是天线和芯片的实部阻抗，表示电阻性部分。
• $X_a$ 和 $X_c$：分别是天线和芯片的虚部阻抗，表示电抗性部分。